三角関係を解こうとしたが… - とある人物の公開手帳

とある清涼飲料水の広告を電車で見かけて、気になってしまったので考察してみる。画像（3名とも制服を着ている方）に書かれている問題文は次の通り。
【問】AC間を ${x}$ , BC間を ${y}$ として三角関係A, B, Cの最適な距離感を求めよ。
（ただし、画像からAB間を ${y \sin \theta}$ , ${\angle C = \theta}$ という条件もあることが分かる。）

ただ、最適な距離感の定義が分からないため、この3人の関係について分かる限り考えてみる。

${\angle A}$ や ${\angle B}$ が直角ではないため、三角比の公式を表している訳ではないが、いずれにせよ束縛条件として働いている。まず、 ${0 \lt \theta \lt \pi}$ と見なしても一般性を失わない。そうすると ${0 \le \sin\theta \le 1}$ となることから、BC間の距離はAB間の距離より縮まることがないことが分かる。つまり、Cの人がAの人よりBの人に近づくことはできないことが、この時点で明らかになる。

ここで、 ${\angle C}$ について余弦定理（←この言葉を使ったのは何年ぶりだろうか…）を使うと
${(y \sin \theta)^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos \theta}$ ,
${y^2(1-\cos ^2 \theta) = x^2 + y^2 - 2xy \cos \theta}$ ,
${y^2\cos^2 \theta - 2xy\cos\theta + x^2 = 0}$ .
${y^2}$ で両辺を割って
${\cos^2\theta - 2\frac{x}{y}cos\theta + (\frac{x}{y})^2 = 0}$ ,
${\left(\cos\theta - \frac{x}{y}\right)^2 = 0}$ ,
${\cos\theta = \frac{x}{y}}$
となる。もちろん ${0 \le |\cos\theta| \le 1}$ だから ${x \le y}$ であり、BC間の距離はAC間の距離より縮まることもない、つまりCの人にとっては恋愛が友情に勝つことはないことも分かる。